المتتـــــــــــــــــــــــــاليات العدديــــــة المحور الصعب في الرياضيات ماتي ماتيك . تعالوا أنا متأكد مع لطفي أنشتاين حاتفهموا المتتاليات وهي ليست صعبة كما ترونها أنتم بل هههه الأحتمالات عبة عليها . تعالوا وطرطكوا وفحموا المتتاليـــــــــات

المتتاليات العددية

المتتاليات العددية| المتتاليات الحسابية| المتتاليات الهندسية| نهاية متتالية| مصاديق التقارب| دراسة متتالية من النوعun+1=f(un)|
المتتاليات العددية


I مجال من ℕ
كل تطبيقuمن I نحو ℝ يسمى متتالية عددية و نرمز لها ب (un)n∈I
un: يسمى الحد العام للمتتاليةu
* متتالية مكبورة مصغورة محدودة

o (un)n∈I متتالية مكبورة (∃M∈ℝ)(∀n∈I)un≤M⇔
o (un)n∈Iمتتالية مصغورة (∃m∈ℝ)(∀n∈I)un≥m⇔
o (un)n∈I متتالية محدودة (∃(m,M)∈ℝ2)(∀n∈I)m≤un≤M⇔


* رتابة متتالية عددية

o (un)n≥no متتالية تزايدية ∀n≥noun+1−un≥0⇔
o (un)n≥no متتالية تناقصية ∀n≥noun+1−un≤0⇔
o (un)n≥noمتتالية ثابتة ∀n≥noun+1=un⇔
o كل متتالية (un)n≥no تزايدية او تناقصية تسمى متتالية رتيبة


*
ملاحظة
(un)n∈I متتالية عددية حيث un〉0 لكلnمن I
1. اذا كان لكلnمن I لديناun+1un≥1 فان المتتالية (un)n∈I تزايدية
2. اذا كان لكلnمن I لدينا0〈un+1un≤1فان التتالية (un)n∈Iتناقصية


* امثلة

o المتتالية (un)n∈ℕ المعرفة بما يلي : un=−2n+3 مكبورة بالعدد 3 (∀n∈ℕun≤3)
o المتتالية (vn)n∈ℕ المعرفة بما يلي : vn=n2 مصغورة بالعدد 0 (∀n∈ℕvn≥0)
o المتتالية (wn)n∈ℕ المعرفة بما يلي : wn=1n+1 محدودة بالعددين 0 و 1 (∀n∈ℕ0≤wn≤1)
o
المتتالية (un)n∈ℕ المعرفة بما يلي un=n+1n2+1تناقصية (∀n∈ℕun+1−un=−3n−n2((n+1)2+1)(n2+1)≤0)
1. احسب u0 ثم استنتج انها مكبورة بالعدد 1
2. هل هذه المتتالية محدودة علل جوابك









المتتاليات الحسابية


(un)n≥no متتالية حسابية أساسها r تكافئ ∀n≥noun+1−un=r
1. (un)n≥no متتالية حسابية ∀n≥no2un+1=un+2+un⇔
2. الحد العام لمتتالية حسابية
(un)n≥no متتالية حسابية اساسها r و up احد حدودها
∀n≥noun=up+(n−p)r
3. مجموع حدود متتابعة لمتتالية حسابية
(un)n≥no متتالية حسابية
up+up+1+........+un=n−p+12(up+un)
4. تمرين تطبيقي
نعتبر المتتاليات الحسابية التالية : {vo=3vn+1=vn−5(∀n∈ℕ){uo=6un+1=un−3(∀n∈ℕ)
1. حدد اساس كل من المتتاليتين (un)n∈ℕ و (vn)n∈ℕ
2. اكتب un و vn بدلالةn
3. اثبت ان المتتالية (wn)n∈ℕ المعرفة بما يلي : (∀n∈ℕ)wn=un+vn حسابية محددا اساسها و حدها العام
4. احسب u0+u1+u2+......u30v0+v1+v2+.......v30w0+w1+w2+......w30
5. حدد الاعداد الصحيحة الطبيعيةnحيث (u0+u1+u2+.......un〈−1200)







المتتاليات الهندسية


(un)n∈ℕ متتالية هندسية اساسهاqتكافئ (∀n≥no)un+1=qun
1. (un)n≥noمتتالية هندسية (∀n≥no)(un+1)2=un+2×un⇔
2. الحد العام لمتتالية هندسية
(un)n≥noمتتالية هندسية اساسهاqو up احد حدودها
∀n≥noun=up×qn−p
3. مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية
(un)n≥no متتالية هندسية اساسهاqيخالف 1
up+up+1+.......+un=up×1−q(n−p+1)1−q
4. تمرين تطبيقي
نعتبر المتتالية (un)n∈ℕ المعرفة بما يلي {u0=5un+1=2un+63(n∈ℕ)
1. احسب u3,u2,u1
2.

نعتبر المتتالية (vn)n∈ℕ المعرفة بما يلي (∀n∈ℕ)vn=un−6
* اثبت ان (vn)n∈ℕ متتالية هندسية محددا اساسها و حدها الاول
* عبر عن vn ثم un بدلالةn
* ادرس رتابة المتتالية (un)n∈ℕ









نهاية متتالية عددية


لتكن (un)n≥no متتالية عددية
1. lim⁡n→+∞un تسمى نهاية المتتالية (un)n≥no
2. (un)n≥no متتالية متقاربة lim⁡n→+∞un∈ℝ⇔
3. (un)n≥no متتالية متباعدة lim⁡n→+∞un=∞⇔ او (un)n≥no لا تقبل نهاية





مصاديق التقارب


(un)n∈I متتالية عددية و l عدد حقيقي
1. اذا كان لكلnمن I لدينا |un−l|≤vn و lim⁡n→+∞vn=0 فان lim⁡n→+∞un=l
2. اذا كان لكلnمن I لدينا vn≤un≤wn و lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=lفان lim⁡n→+∞un=l
3. اذا كان لكلnمن I لديناun≤vnو lim⁡n→+∞vn=−∞ فان lim⁡n→+∞un=−∞
4. اذا كان لكلnمن I لدينا un≤vnو lim⁡n→+∞un=+∞ فان lim⁡n→+∞vn=+∞
5.

ليكن q عددا حقيقيا
* اذا كان −1〈q〈1 فان lim⁡n→+∞qn=0
* اذا كان q〉1 فان lim⁡n→+∞qn=+∞
* اذا كان q≤−1 فان المتتالية (qn)n∈I لا تقبل نهاية



# كل متتالية تزايدية و مكبورة تكون متقاربة
# كل متتالية تناقصية و مصغورة تكون متقاربة
# تمرين تطبيقي


1. (un) متتالية عددية معرفة بما يلي (∀n∈ℕ*)un=sin⁡nn
هل هذه المتتالية متقاربة
2. (un) متتالية عددية معرفة بما يلي (∀n∈ℕ*)un=n2−2n2+n
اثبت ان هذه المتتالية تزايدية و مكبورة ثم احسب نهايتها
3. (un) متتالية عددية معرفة بما يلي (∀n∈ℕ)un=2+(−1)n3n
اثبت ان هذه المتتالية تناقصية و مصغورة ثم احسب نهايتها







دراسة متتالية من النوعun+1=f(un)



1. لتكن (un) متتالية عددية معرفة بالعلاقة un+1=f(un) و u0 حدها الاول بحيث f دالة متصلة على مجال I و f(I)⊂I
اذا كانت (un) متتالية متقاربة فان نهايتها هي حل للمعادلة (x∈I)f(x)=x
2. تمرين تطبيقي
نعتبر المتتالية (un) المعرفة بما يلي {u0=−2un+1=f(un)(∀n∈ℕ) مع f:x↦x+2
1. ادرس تغيرات الدالة f على المجال I=[−2,2]
2. تأكد ان f(I)⊂I
3. اثبت ان ∀n∈ℕun〈2
4. احسب u1ثم بين ان (un) تزايدية . ماذا تستنتج
5. احسب نهاية هذه المتتالية

ارشاد

..................

07.18.2014 :بارك الله فيك:  :mrç: